Зв’язок між параболою й еліпсом на поверхні кулі

Abstract

У кулі та площини є спільні ознаки. У обох гаусова кривина є сталою: у площини вона рівна нулю, а у кулі вона залежить від величини радіуса. Внаслідок цього сферичні криві можуть ковзати по поверхні кулі подібно до того, як плоскі криві можуть ковзати у площині. Деякі властивості плоских кривих характерні і для їх сферичних аналогів. Якщо профіль зубця циліндричної передачі окреслений по евольвенті кола, то зубець конічної передачі теж окреслений по кривій, яка є сферичним аналогом евольвенти кола. Крім того, два еліпси можуть перекочуватися один по одному без ковзання, якщо їх осі обертання розташувати у фокусах. Те ж саме стосується і сферичних еліпсів, тільки на відміну від плоских еліпсів, у яких осі обертання паралельні, у сферичних еліпсів вони перетинаються у центрі сфери. Таку подібність між плоскими кривими та їх сферичними аналогами використовують для проектування сферичних механізмів. У статті розглянуто побудову кривої – сферичного аналога параболи. За основу взято визначення параболи, як геометричного місця точок, рівновіддаленого від фіксованої точки – фокуса параболи і від прямої – директриси. За директрису на сфері взято екватор, як аналог прямої лінії на площині. Для зручності аналітичних викладок взято кулю одиничного радіуса. В такому випадку довжини дуг вимірюються кутами. За виведеними рівняннями було побудовано сферичні параболи, які на відміну від плоских є замкнені. Для параболи на площині всі промені, які йдуть із фокуса, відбиваються від параболи і утворюють пучок паралельних прямих. Аналогічно відбувається і на сферичній параболі з тією відмінністю, що аналогом паралельних прямих є множина меридіанів, які перетинаються в полюсі. За цією властивістю сферична парабола подібна до сферичного еліпса, у якого промені, що виходять із одного полюса, після відбиття попадають у другий полюс. Велика вісь еліпса у кутовому вимірі може набувати значень до 180°. Математично доведено, що у випадку, коли велика вісь еліпса дорівнює 90°, то сферичний еліпс одночасно є сферичною параболою. Таким чином сферична парабола є частковим випадком сферичного еліпса. Складено внутрішнє рівняння сферичної параболи у криволінійних координатах та її параметричні рівняння. За отриманими рівняннями побудовано параболи із різним значенням фокального параметра. Знайдена умова, за якої сферична парабола перетворюється у коло.