Побудова геодезичних ліній на поверхнях обертання, отриманих зміщенням меридіана

Abstract

Геодезичні лінії поверхні є аналогом прямих ліній на площині. Окрім того, що вони з’єднують дві точки поверхні по найкоротшій відстані, вони є траєкторіями намотування армуючих ниток при зміцненні балонів високого тиску. Так само, як на площині із заданої точки можна провести пучок прямих ліній у різних напрямках, так само і на поверхні існують геодезичні лінії, які проходять через задану точку у різних напрямках. Знаходження геодезичних ліній поверхні в загальному випадку зводиться до розв’язування диференціальних рівнянь другого порядку. Мета дослідження – дослідити геодезичні лінії на поверхні, утвореній обертанням заданої плоскої кривої навколо вертикальної осі та їх трансформацію при зміщенні цієї кривої від або до осі. Для поверхонь обертання диференціальне рівняння другого порядку можна понизити до першого порядку і навіть звести до інтеграла на основі відомої формули Клеро. Однак в цьому випадку геодезичні лінії у всіх напрямках можна побудувати тільки для обмеженого числа поверхонь обертання, а на решті поверхонь – тільки обмежені фрагменти геодезичних ліній. В статті розглянуто побудову геодезичних ліній за допомогою чисельного розвя’зування диференціального рівняння другого порядку. Зроблено візуалізацію отриманих результатів.