The motion of a particle on a wavy surface during its translational circular oscillations in horizontal planes

Abstract

The rough plane is a universal structural element of many machines and devices for sifting and separation of parts of technological material. The movement of particles on the horizontal plane, which performs oscillating rectilinear or circular motion, is the most studied. A wavy surface with a sinusoidal cross-sectional line as a working surface will significantly change the trajectories of their movement. The mathematical description of such a movement will change accordingly. The sliding of a particle in a plane will be a partial case of sliding on a wavy surface when the amplitude of the sinusoid is equal to zero. When the wavy surface oscillates and all its points describe circles, the motion of the technological material changes significantly. The regularities of the movement of material particles on such a surface during its circular translational oscillations in the horizontal planes are investigated in the article. Differential equations of relative particle displacement are compiled and solved by numerical methods. The trajectories of the particle sliding on the surface and the graphs of its reaction are constructed. A partial case of a surface is a plane, and the sliding trajectory of a particle is a circle. An analytical expression to determine its radius is found. During circular oscillations of a wavy linear surface with a cross section in the form of a sinusoid relative trajectory of a particle after stabilization of the movement can be closed or periodic spatial curves. To avoid the breakaway of the particle from the surface, the oscillation mode should be set, which takes into account the shape of the surface and the kinematic parameters of oscillations. With the diameter of the circle, which is described by all points of the surface during its oscillation, is equal to the period of the sinusoid, the trajectory of the relative movement of the particle can be a periodic curve. In this case, the particle moves in a direction close to the transverse, overcoming depressions and ridges. In other cases, the trajectory is a closed spatial curve, the horizontal projection of which is close to a circle. The found analytical dependencies allow determining the influence of structural and technological parameters of the surface on the trajectory of the particle. Шорстка площина є універсальним конструктивним елементом багатьох машин і пристроїв для просіювання і сепарації частин технологічного матеріалу. Найбільш дослідженим є рух частинок по горизонтальній площині, яка здійснює коливальний прямолінійний або круговий рухи. Хвиляста поверхня із поперечним перерізом у вигляді синусоїди в ролі робочої поверхні суттєво змінюватиме траєкторії ковзання частинок. Відповідно зміниться і математичний опис такого руху. Ковзання частинки по площині буде частковим випадком ковзання по хвилястій поверхні, коли амплітуда синусоїди дорівнюватиме нулю. При коливаннях хвилястої поверхні, коли всі її точки описують кола, рух технологічного матеріалу суттєво змінюється. У статті досліджуються закономірності руху матеріальних частинок по такій поверхні під час її колових поступальних коливань в горизонтальних площинах. Складено диференціальні рівняння відносного переміщення частинки, які розв’язано чисельними методами. Побудовано траєкторії ковзання частинки по поверхні та графіки її реакції. Частковим випадком поверхні є площина, а траєкторією ковзання частинки є коло. Знайдено аналітичний вираз для визначення його радіуса. При колових коливаннях хвилястої лінійчатої поверхні з поперечним перерізом у вигляді синусоїди відносною траєкторією частинки після стабілізації руху може бути замкнена або періодична просторові криві. Для уникнення відриву частинки від поверхні потрібно задавати режим коливань, який враховує форму поверхні та кінематичні параметри коливань. При діаметрі кола, яке описують усі точки поверхні при її коливанні, рівному періоду синусоїди, траєкторією відносного руху частинки може бути періодична крива. У цьому випадку частинка рухається в напрямі, близькому до поперечного, долаючи впадини і гребні поверхні. У інших випадках траєкторією є замкнена просторова крива, горизонтальна проекція якої близька до кола. Знайдені аналітичні залежності дозволяють визначати вплив конструктивних та технологічних параметрів поверхні на траєкторію руху частинки по ній.