Конструювання меридіана для заданого руху частинки по поверхні, яка обертається навколо вертикальної осі

Abstract

У статті розглянуто конструювання поверхні обертання, яке зводиться до знаходження її меридіана за заданими умовами. Такими умовами є характер руху частинки по внутрішній поверхні при її обертанні навколо вертикальної осі. Абсолютний рух частинки утворюється від співвідношення обертального руху поверхні і відносного руху (ковзання) частинки по поверхні. Класичними прикладами такого руху є рух частинки всередині вертикального конуса, який обертається зі сталою кутовою швидкі-стю навколо своєї осі, а також частковий випадок, коли кут нахилу твірних конуса дорівнює нулю і він перетворюється на горизонтальний диск. Криву меридіана можна задати явним рівнянням або ж параметричними рівняннями у функції незалежної змінної. У статті розглянуто випадок, коли меридіан поверхні обертання задається параметричними рівняннями у функції часу. Це дозволяє скласти диференціальне рівняння руху частинки, в якому всі залежності є функціями часу. Ці залежності потрібно розшукати зі складеного диференціального рівняння руху частинки. Коли частинка попадає на поверхню, вона починає по ній ковзати, описуючи криволінійну траєкторію. Із урахуванням обертального руху поверхні знаходиться абсолютна траєкторія. Перша похідна її довжини по часу дає абсолютну швидкість, а друга – абсолютне прискорення, у вираз якого закладені невідомі функції, що описують меридіан. Диференціальне рівняння руху складено в проекціях на три осі декартової системи координат. У систему із трьох рівнянь входять чотири невідомі функції: два рівняння, що задають меридіан, залежність кутової швидкості ковзання частинки і реакція поверхні. Щоб розв’язати рівняння, кількість невідомих функцій потрібно скоротити до трьох. Для цього одну залежність задаємо. Такий підхід призводить до отримання часткових випадків, один із яких – рух частинки по горизонтальному диску, що обертається навколо вертикальної осі. Розглянуто конкретний приклад і побудовано криву меридіана в результаті чисельного розв’язання рівнянь за умови, що частинка всередині поверхні піднімається вгору із сталою заданою швидкістю. В статье рассмотрено конструирование поверхности вращения, которое сводится к нахождению ее меридиана по заданным условиям. Таковыми условиями являются характер движения частички по внутренней поверхности при ее вращении вокруг вертикальной оси. Абсолютное движение частички образуется от соотношения вращательного движения поверхности и относительного движения (скольжения) частички по поверхности. Классическими примерами такого движения является движение частички внутри вертикального конуса, который вращается с постоянной угловой скоростью вокруг своей оси, а также частный случай, когда угол наклона образующих конуса равен нулю и он превращается в горизонтальный диск. Кривую меридиана можно задать явным уравнением или параметрическими уравнениями в функции независимой переменной. В статье рассмотрен случай, когда меридиан поверхности вращения задается параметрическими уравнениями в функции времени. Это позволяет составить дифференциальное уравнение движения частички, в котором все зависимости являются функциями времени. Эти зависимости должны быть найдены из составленного дифференциального уравнения движения частички. Когда частичка попадает на поверхность, она начинает по ней скользить, описывая криволинейную траекторию. С учетом вращательного движения поверхности находится абсолютная траектория. Первая производная ее длины по времени дает абсолютную скорость, а вторая – абсолютное ускорение, в выражение которого заложены неизвестные функции, описывающие меридиан. Дифференциальное уравнение движения составлено в проекциях на три оси декартовой системы координат. В систему из трех уравнений входят четыре неизвестные функции: два уравнения, задающие меридиан, зависимость угловой скорости скольжения частички и реакция поверхности. Чтобы решить уравнение, количество неизвестных функций нужно сократить до трех. Для этого одну зависимость задаем. Такой подход приводит к получению частных случаев, один из которых – движение частички по горизонтальному диску, вращающемуся вокруг вертикальной оси. Рассмотрен конкретный пример и построено кривую меридиана в результате численного решения уравнений при условии, что частичка внутри поверхности поднимается вверх с постоянной заданной скоростью.